众所周知，为了使晶体管更小，人们做了大量工作。然而，仍然需要对 VLSI 电路和模块进行相应的工作，以适应更小的设计。这些 VLSI 电路和模块可能很简单，只有几个逻辑门（包含两到四个晶体管），也可能是包含成千上万个晶体管的更大系统。相反，这些系统需要满足各种工作条件下的速度/延迟和功率要求。

在本文中，我们将讨论如何确定单个晶体管的大小，以便在考虑到这些需求的情况下与其他晶体管正确集成。我们将首先介绍 RC 延迟模型。

这篇文章是系列文章的一部分，在该系列文章中，我们还将讨论其他流行的模型，例如用于估计 VLSI 电路延迟的 Elmore 延迟和逻辑努力。在这些后续文章中，我们还将研究如何组合这些晶体管和栅极以提供面积，同时提供性能。

线性 RC 延迟

与大多数电气系统一样，晶体管可以建模为简单的 RC 电路，其中通道宽度建模为电阻器，而扩散（即源极/漏极）之间的空间建模为电容器。

这创建了一个 RC 网络，该网络以在输入端（在本例中为晶体管的栅极）应用阶跃输入时具有指数上升/下降瞬态响应而闻名。上升/下降时间（即输出电压电平与输入电压电平匹配所需的时间）定义了晶体管电路的延迟。

计算晶体管的电阻

现在，什么是晶体管的有效电阻？我们如何计算晶体管的电阻？

通常，晶体管的电阻是漏源电压与漏源电流之间的比率。

在建模中，单位 NMOS 晶体管的有效电阻为 R，等于单元库或工艺中使用的尺寸 NMOS 晶体管的电阻。并且由于具有大宽度的晶体管驱动更多电流，因此 k 倍单位宽度的 NMOS 晶体管具有 Rk R k 的电阻。而由于PMOS晶体管的迁移率较低，其有效电阻通常为$\frac{2R}{k}$。

晶体管的有效电容

对于 k 倍单位宽度，单位 NMOS/PMOS 晶体管的有效电容为“C”或“kC”。用于驱动类似逆变器的逆变器的等效 RC 电路如下图 1 所示。     

图 1. 所有图像改编自 CMOS VLSI 设计（第 4 版）1，作者 Neil HE Weste 和 David Money Harris

由于反相器的PMOS晶体管尺寸为2倍单位，NMOS为单位宽度，因此它通常为驱动电路提供总计3C的输入电容。

回顾一下，当输入为高电平 (3.3V) 时，NMOS（底部晶体管）导通，并在将输出电压下拉至地 (0V) 的同时提供“R”电阻。但是，当输入为低电平 (0V) 时，PMOS（顶部）导通，并且在将输出电压拉至高电平 (3.3V) 的同时还提供 R 的电阻。

这意味着，在上升/下降转换中，等效 RC 电路的有效电阻为“R”。同时，每个晶体管（3C）的总电容不随晶体管的变化而变化。由于我们有两个逆变器级联在一起，它们总共提供 6C 的电容。

为 3 输入与非门调整晶体管大小

为了进一步了解晶体管在逻辑门中的大小，让我们看一下 3 输入与非门。

作为参考，如果任何输入为低电平，与非门将提供高电平输出。相反，当所有输入均为高电平时，输出将为低电平。这为我们提供了三个并联的 PMOS——只有一个 PMOS 足以将输出电压拉至高电平——以及三个串联的 NMOS——这三个 NMOS 需要先导通才能将输出电压拉至低电平。

为了有效地调整每个晶体管的尺寸，我们必须注意，电路中的晶体管尺寸必须以 NMOS 部分提供单位电阻“R”而 PMOS 部分必须提供两倍单位电阻“2R”的方式确定以确保相等的上升/下降时间。

由于三个 NMOS 晶体管串联连接，它们的总电阻必须为 \((\frac{R}{3} + \frac{R}{3} + \frac{R}{3} = R)\)其中 k = 3。由于只有一个 PMOS 足以将输出拉至高电平，因此在坏情况下，每个 PMOS 晶体管保持有效电阻 \(\frac {2R}{2} = R \) 其中 k = 2.$(\frac{R}{3}+\frac{R}{3}+\frac{R}{3}=R)$$\frac{2对}{2}=R$

在上升/下降晶体管处，每个输入将呈现 5C 的输入电容，而输出端 Y 的总输出电容为 (2C+2C+2C+3C = 9C)。

向前推进，可以开发等效 RC 电路以给出图 2(c) 和 2(d) 中所示的电路。

图 2。

下降过渡 (2(c)) 显示所有 NMOS 晶体管都需要导通，而上升过渡 (2(d)) 显示坏情况，其中一个 PMOS 导通同时两个 NMOS 晶体管导通， ，有助于电路的总电容。

评估电路的瞬态响应：传播延迟、STC 和 TTC

在推导出合适的等效 RC 电路后，下一步是检查电路的瞬态响应。如果我们检查下面图 3 中所示逆变器的等效 RC 电路，目标是估计在输出端看到输入电压的时间。

施加输入 (V DD ) 与输出 \(\frac {V_{DD}}{2}\)之间的时间称为传播延迟。传播延迟的表达式可以从给出的一阶电路的经典传递函数导出： $\frac{V_{DD}}{2}$

$$H\left(s\right)=\frac{1}{1+sRC}$$$$V_{out}=V_{DD}{e}^{?\frac{t}{RC}}$$

因此，传播延迟是瞬态响应的时间常数 (τ)，即：

$$t_{pd}=RC$$

图 3。

从图 3 中的延迟响应来看，目标是将传播延迟推至接近于零以生成总体上更快的电路。在文献中，这种方法通常被称为单时间常数(STC) 方法，这是一种估算电路延迟的简单方法。 

然而，这种方法在估计较大电路的延迟时似乎不准确，这导致了双时间常数(TTC) 近似的发展，由于第二个时间常数，它使我们有机会获得更好的延迟估计。

检查上面讨论的 3 输入与非门，其 RC 电路可以如图 4 所示给出。

图 4。

该电路的阶跃响应为

$$H\left(s\right)=\frac{1}{1+s[R_1{C}_1+(R_1+R_2\left)C_2\right]+s^2{R}_1{C}_1{R}_2{C}_2}$$

和

$$V_{out}\left(t\right)=V_{DD}\frac{{\tau }_1{e}^{?\frac{\tau }{{\tau }_1}}?{\tau }_2{e}^{?\frac{\tau }{{\tau }_2}}}{{\tau }_1?{\tau }_2}$$
 

在哪里

$${\tau }_{1,2}=\frac{R_1{C}_1+(R_1+R_2)C_2}{2}[1\pm \sqrt{1?\frac{4R^{*}{C}^{*}}{[1+(1+R^{*})C^{*}{]}^2}}]$$

和

$$R^{*}=\frac{R_2}{R_1};C^{*}=\frac{C_2}{C_1}$$

但由于 TTC 近似的复杂性，这违背了将 CMOS 电路延迟简化为简单 RC 网络的目的。然而，它可以通过 STC 模型进行简化，给出一个近似的时间常数 (τ)。

$$\tau ={\tau }_1+{\tau }_1=R_1{C}_1+(R_1+R_2)C_2$$

单时间常数 (STC) 与双时间常数 (TTC)

根据 Mark Alan Horowitz 1 的说法，如果性常数明显大于另一个，则此近似值有效。

然而，根据 Neil HE Weste 和 David Money Harris 2 的说法，这种近似被认为会产生 7%-15% 的误差，因此不能给出中间节点的准确延迟描述。